什么是约数,约数的个数

 生活杂谈     |      2020-03-23 16:26
今天我们讨论约数的个数和约数的几个好玩的性质。
我们知道,一般地,如果整数Z可以分解质因数为Z=P1^a1 x P2^a2...x Pn^an,那么Z的约数个数是(a1+1)(a2+1)...(an+1)个。
为什么呢?我们可以透过乘法原理来解释。举个小例子,自然数12有几个约数?我们先分解质因数12=2^2x3。12的约数一定是由质数2、3组成的。换句话讲,任何一个12的约数一定是2^a x 3^b的形式。a可以取0~2,b可以取0~1,因为a有2+1种取法,b有1+1种取法,所以它有(2+1)(1+1)个约数。好,还是从一道题开始。
2016有多少个约数?2016^2有多少个约数?2016有多少个偶约数?有多少个奇约数?有多少个能被8整除的约数?2016所有约数的和是多少?所有约数的积是多少?所有约数的倒数的和是多少?
2016和她的约数朋友们
问题1: 2016有多少个约数?
分解质因数2016=2^5 x 3^2 x 7。所以2016的约数个数是(5+1)(2+1)(1+1)=36个
问题2: 2016^2有多少个约数?
2016^2=2^10 x 3^4 x 7^2。所以2016^2的约数个数是(10+1)(4+1)(2+1)=165个
问题3: 2016有多少个偶约数?
2016=2^5 x 3^2 x 7,因为我们要计算偶约数的个数,2只能取1~5,所以(4+1)(2+1)(1+1)=30个
问题4: 2016有多少个奇约数?
2016=2^5 x 3^2 x 7,因为我们要计算奇约数的个数,2只能取0一种情况,所以(0+1)(2+1)(1+1)=6个
问题5: 2016有多少个能被8整除的约数?
2016=2^5 x 3^2 x 7,因为约数是8的倍数,2只能取3、4、5三种情况,所以(2+1)(2+1)(1+1)=18个
问题6: 2016所有约数的和是多少?
2016=2^5 x 3^2 x 7;
(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5)x
(3^0+3^1+3^2) x
(7^0+7^1)
这个可以解释吗?思考一下吧?
一般的,如果整数Z可以分解质因数为Z=P1^a1 x P2^a2 ...x Pn^an,那么Z的约数的和是:(P1^0+P1^1+...+P1^a1) x
(P2^0+P2^1+...+P2^a2) x
......
(Pn^0+Pn^1+...+Pn^an)
问题7: 2016所有约数的积是多少?
2016^(36/2)
一个数Z的约数个数要么是偶数个,要么是奇数个;如果是偶数,约数是成对的,比如1和2016、2和1008等等;当然如果约数的个数是奇数个,那么Z一定是完全平方数。
问题8: 2016所有约数的倒数的和是多少?
在问题7中,我们知道2016的约数成对出现,比如1和2016、2和1008等等。
那么1/1+1/2016 = (1+2016)/2016;
同理1/2+1/1008 = (2+1008)/2016;
......
最后1/42+1/48  = (42+48)/2016;
所以2016所有约数的倒数的和就是"问题6"/2016
怎么样?是不是很有趣呢?:-)