说说什么是质数?

 生活杂谈     |      2020-01-15 16:40
质数与合数是个非常有意思的内容。
关于质数的理论可以写厚厚的一本书,里面有趣的内容很多,当然也很难,比如著名的哥德巴赫猜想、孪生质数猜想等都是和质数有关的问题。
关于质数的问题中最难的自然是黎曼猜想。和哥德巴赫猜想和孪生质数猜想不同的是,后面两个猜想小学生都能明白在说啥,但是黎曼猜想需要学习很多的专业知识才能弄明白,所以这里也就不多展开,有兴趣的可以往前翻翻我写的关于黎曼猜想的科普文章。
小学奥数中,关于质数和合数的内容也是非常丰富的,今天开始我们就讲讲关于质数与合数的专题。
什么是质数?
质数,又叫素数,指的是如果一个数除了被1和自身这两个数整除之外,不能被其他任何数整除,就称为质数,否则就是合数。
1于是尴尬了。
被1整除的只有1,所以1既不是质数又不是合数;
2也很尴尬,只能被1和2整除,而除了2以外的任何一个偶数至少有1,2,还有自己,所以只要这个偶数不是2,就一定是合数。
2,是唯一的偶质数,忧桑,淡淡的忧桑。
不必难过,请牢记这一点,我们在后面的解题中会反复用到这一性质,敲黑板:2是唯一的偶质数,这个很重要。
数学的迷人之处在于定义是如此的简洁,然后衍生出来的变化却是如此的多样。理论上来说,关于质数和合数所有的题目我们都会做了。
比如:
任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。。。
又比如说,孪生素数就是指相差2的素数对,例如3和5,5和7,11和13。这样的素数对有无穷多对。
行了,别看了,一个是哥德巴赫猜想一个是孪生质数猜想。我没说错吧,能轻易地读懂题目,比之前的解方程因式分解是不是容易理解多了?
但是你就是做不出来。
别气馁,目前这个世界上还没有人能做出来呢。
那么到底有哪些数是质数呢?
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,前100个自然数理有这么多的质数呢!
大于100的就不写了,如果把所有质数排成一个长长的列表,那么合数就是从这个列表中挑出一些做乘法,当然,一个质数可以被重复挑选多次。
我们把合数分解成若干个质数的乘积的过程叫做分解质因数。我们不难证明,每个合数的质因数分解形式,除去质数的排列顺序外,分解是唯一的(证明略)。
哈哈哈哈哈,终于可以用证明略了,皮一下真的好开心(有兴趣可以尝试,做不出来也挺正常哈,不要放在心上)!
我们来看例子:把15,22,30,35,39,44,52,77,91平均分成三组,使得每组三个数乘积相等,这三组数分别是多少?
理论上,我们一共有1680种分组的办法,所以穷举虽然能做出来,但真的不是啥好办法。所以要考虑一种办法,起码能够减少尝试的次数。
那该如何考虑?
两个数做乘法的实质其实就是它们的质因数之间的乘法。我们如何去判定两个数相等?
肉眼观察。。。
来啊,拖出去打死!
12345=12345还要你说?
2的16次和65536是否相等呢?
贼老师,我背过,这俩也是相等的!
再拖出去一个!
对于较大的数,我们往往通过分解质因数的办法,然后利用质因数分解是唯一的这个结论,对比两遍的质因数及其次数是否相等来判定两个数是否相等。
所以,我们要把上面九个数分成三组,只要按照质因数来分组就可以了!
15=3×5,22=2×11,30=2×3×5,35=5×7,39=3×13,44=2×2×11,52=2×2×13,77=7×11,91=7×13。
再怎么办呢?我们又要仔细观察了。
仔细观察就是法宝嘛!
观察什么?从一般中找特殊,从特殊中找一般,多的里面找少的,少的里面找多的。
像找数的规律,就是从特殊的几个数找到一般规律;而反例,就是从对的里面找出那个错的来。
这一堆质因数里,13,11这种较大的数很醒目,一看13有3个,11也有三个,那肯定得分开啊,必然是一组一个包含13,一个包含11.就像点兵点将一样,我们先把含13的挑出来:
39=3×13,52=2×2×13, 91=7×13。
而含11的有:22=2×11,44=2×2×11,77=7×11。
最后剩下的三个数是:15=3×5,30=2×3×5,35=5×7,
很显然,44不能和52搭配,因为这样的话。。。。太2了;一共六个2它们要占4个?其他数就没法活了。所以44要么和91,要么和39。
而22很显然要和30凑一起,因为这样才能凑出俩2来,44和52都是自带俩2的。22和30包含了两个2,一个3,一个5,一个11,所以还缺一个7和一个13,因此22,30,91一组;35,39,44一组;52,77,15一组。
是不是很简单?
没事,循序渐进循序渐进,好玩的在后面等着你们那!